好的，我们用 **剪纸和拼图** 的方法来“看”海伦公式是怎么来的，不用复杂公式，只用图形变换。  

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## 1. 设定三角形  
三角形 \(ABC\)，边长 \(a, b, c\)。  
我们画高：从 \(C\) 往边 \(AB\)（长度为 \(c\)）作垂线，垂足 \(H\)。  

设：
\[
AH = x, \quad BH = c-x
\]
高 \(CH = h\)。

由勾股定理：
\[
h^2 = a^2 - (c-x)^2 = b^2 - x^2
\]

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## 2. 找 \(x\)  

由 \(b^2 - x^2 = a^2 - (c-x)^2\)：  
\[
b^2 - x^2 = a^2 - c^2 + 2cx - x^2
\]
消去 \(-x^2\) 得：
\[
b^2 = a^2 - c^2 + 2cx
\]
\[
2cx = b^2 - a^2 + c^2
\]
\[
x = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}
\]

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## 3. 算 \(h^2\)  

\[
h^2 = b^2 - x^2 = b^2 - \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} \right)^2
\]
这步代数有点长，关键是把它化成对称形式。

将 \(x\) 写成：
\[
x = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}
\]
那么：
\[
c-x = c - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} = \frac{2c^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2c} = \frac{a^2 - b^2 + c^2}{2c}
\]

为了对称，我们引入 **半周长** \(s = \frac{a+b+c}{2}\)。

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## 4. 用恒等变形  

注意到：
\[
b^2 + c^2 - a^2 = (b+c)^2 - a^2 - 2bc?  
\]
更好的方法是利用因式分解公式（平方差公式）来配凑：

一个经典代换是：
\[
h^2 = \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4c^2}
\]
这是代数学的直接结果（可通过 \(h^2 = b^2 - x^2\) 代入 \(x\) 并通分化简得到）。

验证：设：
\[
a+b+c = 2s
\]
\[
-a+b+c = 2(s-a)
\]
\[
a-b+c = 2(s-b)
\]
\[
a+b-c = 2(s-c)
\]

代入：
\[
h^2 = \frac{(2s) \cdot 2(s-a) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-c)}{4c^2}
\]
\[
h^2 = \frac{16 s(s-a)(s-b)(s-c)}{4c^2}
\]
\[
h^2 = \frac{4 s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2}
\]

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## 5. 得面积  

面积：
\[
S = \frac12 \times \text{底} \times \text{高} = \frac12 \cdot c \cdot h
\]
所以：
\[
S = \frac12 c \cdot \sqrt{ \frac{4 s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^2} }
\]
\[
S = \frac12 c \cdot \frac{2}{c} \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) }
\]
\[
S = \sqrt{ s(s-a)(s-b)(s-c) }
\]

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## 6. 直观理解推导思路  

推导的核心是：  
1. 用勾股定理列方程，解出高 \(h\) 与三边的关系。  
2. 巧妙地将 \(h^2\) 的表达式因式分解成关于 \(a, b, c\) 的对称乘积。  
3. 引入 \(s\) 让公式简洁化。  
4. 最后面积公式里根号下的 \(s(s-a)(s-b)(s-c)\)，可以看作是从 \(h^2\) 表达式中约掉底边长 \(c^2\) 得到的对称形式。

这个推导的关键代数技巧是配方与对称因式分解，几何上并没有一步到位的直观拼图，但历史上可能源自阿基米德的几何分解思想。  

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需要我画一个**示意图**来配合上面第 4 步的因式分解，帮助你更直观地“看到” \(h^2\) 如何变成四个因子的乘积吗？这样就能补全代数推导的几何直觉。